Arakelov 几何课程及讨论班

时间：从4月5日至6月30日，每周一和周三上午的8：00-10：00

地点：北大资源大厦1328

《算术代数几何选讲》课程计划:

陈华一

《算术代数几何选讲》面向数学系高年级本科生和研究生，讲述数论中的代数几何方法，尤其是Diophantus 几何方法的主要思想。通过这门课程，我计划达到三个目标：让学生掌握代数几何的基本概念和技巧，了解Diophantus 几何的重要问题和经典结果，接触这一方向上研究的新进展。预计需要48 小时左右的授课时间。Diophantus 问题是数论中最古老，同时又最具活力的方向之一。它研究整系数多项式方程(组) 整解的性质，如存在性、有限性、以及渐近性质等等。许多数论上著名的猜想，比如Fermat 最后定理，Hilbert 第十问题，Birch 和Swinnerton-Dyer 猜想，Mordell 猜想，以及abc 猜想等等，都与Diophantus 问题密切相关。这些猜想中的一大部分远未解决，同时已经解决的那些又派生出许多重要的问题，这吸引着一代代数学工作者去探索和研究.

半个世纪多来，代数几何在Grothendieck 学派的影响下有了长足的进展，为Diophantus 问题提供了新的工具和方法，得到了许多重要的结果，其中最具代表性的就包括Mordell 猜想及Fermat 最后定理的解决。这些进展使得代数几何成为Diophantus 问题研究人员所必备的基础知识。同时，代数几何在许多数学及应用数学的方向上有广泛的应用。在本课程的前半部分中就将用现代观点来讲述代数几何的基础知识，内容主要包括层和上同调理论，概形论，Abel 簇理论等。出于时间的考虑，计划只讲述课程后半部分用到的概念和定理。但所有提到的代数几何概念都将在
课程中详细定义，并且讲述定理的严格证明。学生只需具备复变函数和抽象代数的基础知识就可以修这门课程。在完成课程后，程度较好的学生应具有独立阅读代数几何方向的教科书和工具书的能力。另外，经典Diophantus 逼近理论中的思想和方法也在Diophantus 几何中发挥了重要的作用。比如Faltings 对于Mordell 猜想的证明就综合了Arakelov 几何(几何方法) 和Roth 定理(Diophantus 逼近) 的思想。在课程的前半部分也会有选择地讲述关于经典Diophantus 逼近的内容。课程的后半部分重点放在与数论密切相关的几何概念和方法上。首先会对代数数论的基础知识作一个介绍，然后着重从几何的角度讲述高度理论(height theory)，特别是Abel 簇上Neron-Tate 高度论。至此学生们应对Diophantus 几何经典的问题和结论中出现的概念有较为全面的认识。在此基础上，我计划根据具体情况从下述论题
中选择一到两者加以介绍：

1) Vojta 对Mordell 猜想的证明。
2) 算术代数簇上的动力系统和Bogomolov 猜想。
3) 函数域上的abc 猜想。
4) 斜率方法及其在Grothendieck-Katz 猜想中的应用。
5) 值分布理论和Diophantus 逼近的类比。
6) 算术相交理论。


所需的资料可以到http://people.math.jussieu.fr/~chenhuayi/pku/ 下载

Arakelov几何讨论班:

讨论班计划每周一次，计划集中讨论Arakelov 几何的一些最新进展，比如算术 Fujita 逼近定理及其应用，典则高度函数与算术动力系统，匀称分布定理及相关问题，环面簇上的算术几何，模空间中的算术相交理论等等，期间还将邀请该方向前沿的国内外数学家作系列报告并深入讨论。